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戰(zhàn)國時期中山國中山成公陪葬墓出土的骨算籌。河北博物院供圖

算籌，又叫籌、策、算子，是人們用來計數(shù)、列式和進行運算的“籌算”工具，比算盤的出現(xiàn)要早2000多年。算字一作“筭”，從字形上看，有擺弄小竹棍的意味，實物形態(tài)類似于我們常見的不起眼的小棍兒、竹簽，其重要價值卻足以在光輝燦爛的中國古代數(shù)學(xué)史上熠熠生輝。

其實，“數(shù)”的概念產(chǎn)生得很早，學(xué)者唐蘭先生曾指出仰韶時期骨契上的刻畫符號，很可能模仿了當(dāng)時人們的計數(shù)方式。而新石器時代遺址中也發(fā)現(xiàn)了一定數(shù)量的刻畫和彩繪符號，已具備“計數(shù)”功能。到商周時，巫人占卜手持的“策”，便是算籌，而“八卦”便是用算籌排列出來的?？梢哉f，算籌在萌芽伊始，便具有占卜、計數(shù)的功能。商代末期的算籌計數(shù)已經(jīng)有了縱橫兩種形式，具備了位值制的意義，到戰(zhàn)國晚期趨于完整，至漢魏時成熟。

自20世紀(jì)50年代以來，考古發(fā)掘中陸續(xù)出現(xiàn)了多批戰(zhàn)國、秦漢時期的算籌實物，更是揭示了算籌的面貌：一根根同樣長短和粗細的小棍子，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成；一般長約13厘米，徑粗約0.2厘米，隨著時間的推移，配合運算的日益復(fù)雜，算籌形制也逐漸由長變短、截面也由單一的圓形變成方形、三角形。結(jié)合文獻記載，它們有的是歷法運算時用來復(fù)雜籌算的，一般與筆、硯、墨、削一類的文具和計算相關(guān)的度量衡等同時出現(xiàn)，西漢《急就篇》就有“筆硯籌算膏火燭”的說法；也有占卜游戲時用以簡單計數(shù)的，多與博具盒等游戲用具一同被發(fā)現(xiàn)。

河北博物院展陳中就有這種“初代計算器”——戰(zhàn)國時期中山國的算籌。其中，中山成公的陪葬墓出土有一捆骨算籌，45根細長的圓棍兒，多數(shù)是淡黃色，也有少數(shù)發(fā)白或呈淡青色，是用來運算的工具。為什么是一捆呢？很好理解，人們將算籌捆起來，甚至有專門的“算袋子”，可以系在腰間，方便隨身攜帶。秦始皇扔的算袋化為“算袋魚”的故事便與此有關(guān)。按《漢書·律歷志》的記載，用來計算的算籌多則有“二百七十一枚”為一握，即西漢時人們已經(jīng)用算籌進行較為復(fù)雜的運算，一捆算籌多達271根！實際上，像成公墓這樣一捆45根左右的算籌，處理日常生活中一般的計數(shù)運算已經(jīng)足夠了。

算籌遵循十進位制，按《孫子算經(jīng)》的記載，成熟的算籌“凡算之法,先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)”，即以縱橫兩種排列方式來表示1—9的數(shù)目，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。劉徽在《九章算術(shù)》中標(biāo)注的“正算赤、負算黑”，也隨著神禾原戰(zhàn)國秦陵墓出土的象牙涂色算籌的發(fā)現(xiàn)得到了實物例證。

算籌不但可以用來擺成各種形制進行加減乘除四則運算，古人還用算籌來進行諸如開方、二次三次方程等復(fù)雜運算以及特定的演算。如《九章算術(shù)》“少廣”章就記載了開平方的算法——算籌擺三行：上行是平方根，叫“商”；中行是被開方數(shù)，為“實”，下行是開方過程中去除“實”的數(shù)，稱為“法”。三行之下還要放一根籌，叫“借算”，其運算原理與現(xiàn)代開方基本一致。

算籌作為我國最初的計算工具，直到明代中晚期才被算盤完全取代。不過，由此發(fā)展起來的籌算數(shù)學(xué)并沒有消失，而是順應(yīng)著人們對計算速度和準(zhǔn)確性的要求不斷提高，催生了高速計算器，造就了中國數(shù)學(xué)計算技術(shù)的發(fā)展繁榮。

（作者單位：河北博物院，本報記者邵玉姿采訪整理）

《 人民日報 》（ 2024年10月06日 06 版）