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制圖：沈亦伶

數(shù)學是一個極富魅力的世界。在人類認識自然、追求美好生活的過程中，數(shù)學發(fā)揮著重要作用。雖然不懂數(shù)學也能過得很愉快，但具備一定的數(shù)學素養(yǎng)，能幫助我們更好地認識世界、理解世界、欣賞世界。

數(shù)學，古老又年輕。在信息時代，數(shù)學的重要性與日俱增，展現(xiàn)出前所未有的活力。推動數(shù)學發(fā)展的，既有大量未解決的舊問題，也有社會科技發(fā)展涌現(xiàn)的新問題，從事數(shù)學研究和應(yīng)用的人數(shù)也在不斷增加。

數(shù)學的內(nèi)涵是什么

數(shù)學研究量與形，量與形是物質(zhì)的基本屬性，這決定了數(shù)學的價值和意義。經(jīng)過幾千年的發(fā)展，數(shù)學已經(jīng)成為一個龐大的學科，通常分為基礎(chǔ)數(shù)學（即純數(shù)學）和應(yīng)用數(shù)學兩大部分?；A(chǔ)數(shù)學又大致可分為代數(shù)（含數(shù)論）、幾何（含拓撲）、分析數(shù)學（以微積分為基礎(chǔ)）等。

毫無疑問，數(shù)的起源是計數(shù)，也就是數(shù)物品。開始時，人們對數(shù)的觀念與具體事物聯(lián)系在一起，比如一棵樹、一塊石頭、兩個人、兩條魚等。逐漸地，人們發(fā)現(xiàn)一棵樹、一塊石頭等具體事物共同的數(shù)字屬性，數(shù)的抽象概念就這樣形成了。

產(chǎn)生數(shù)的方式是無窮無盡的，量的比值是數(shù)，面積是數(shù)，體積是數(shù)，溫度是數(shù)，時間是數(shù)……今天我們能強烈感受到數(shù)字化的影響，其實數(shù)字化很久以前就有了，如門牌號、車牌號、車次等。數(shù)字化的本質(zhì)是編碼，賦予數(shù)字以含義。例如一幅照片的數(shù)字化就是把照片分成很多小方塊，每一個小方塊看作一點，用三個數(shù)字表示其紅綠藍的成分。所謂像素就是這樣的小方塊的個數(shù)，像素越高，表明數(shù)字化做得越精細。重要的是，數(shù)字可以運算，經(jīng)過數(shù)字化后，照片也就可以通過數(shù)學的手段進行變化了。

數(shù)，有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數(shù)學家和業(yè)余愛好者。研究數(shù)的分支是數(shù)論，這一領(lǐng)域一直很活躍，近年來取得巨大進展，包括費馬大定理的證明、孿生素數(shù)猜想的突破、朗蘭茲綱領(lǐng)的進展等。素數(shù)是數(shù)論研究的一個永恒主題，其神秘的結(jié)構(gòu)和規(guī)律始終挑戰(zhàn)著人類的智力。

形是數(shù)學分支幾何關(guān)注的對象。這個世界充滿了各種各樣的形，藍天、白云、青山、流水、高樓、動物、植物有各自的形，它們都富有美感、令人愉悅。公元前300多年，希臘人歐幾里得采用公理化體系，系統(tǒng)整理了古希臘人的數(shù)學成就，寫成了《幾何原本》。在以后2000多年的歷史中，它都是一部標準的教科書。一直到19世紀，人們都相信這種幾何準確描述了我們這個世界。但是，非歐幾何的出現(xiàn)讓人們知道幾何原來可以有很多種。這立即帶來一個問題，哪一種幾何能正確描述我們這個世界的空間呢？廣義相對論說我們生活的空間是彎曲的，需要用黎曼幾何描述，弦論則認為我們的時空是十維的。

現(xiàn)實空間遠比歐幾里得幾何中的空間復(fù)雜。當把幾何理解為一種結(jié)構(gòu)，就擺脫了幾何是現(xiàn)實空間的抽象這個限制，幾何的內(nèi)涵會變得異常豐富和遼闊。很多對象都出人意料地有非常好的幾何結(jié)構(gòu)，如一個空間所有過原點的直線全體的幾何結(jié)構(gòu)就是射影空間。

現(xiàn)實世界日新月異，充滿變化。微積分就是研究變化的數(shù)學，基本概念有極限、微分和積分。微積分及在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來的分析數(shù)學，成為認識和探索世界奧秘最有力的數(shù)學工具之一，為數(shù)學帶來全面的大發(fā)展。

求解方程一直強有力地推動數(shù)學的發(fā)展。剛開始是多項式方程，在探究多項式方程的過程中，代數(shù)數(shù)論、代數(shù)、代數(shù)幾何等分支產(chǎn)生了。微積分出現(xiàn)后，微分方程也就自然出現(xiàn)了。求解微分方程在數(shù)學中非常重要，因為大自然的很多奧秘是通過微分方程呈現(xiàn)的，著名的有描寫流體運動的納維—斯托克斯方程、描寫電磁運動的麥克斯韋方程、廣義相對論中的愛因斯坦場方程、量子力學中的薛定諤方程等。

應(yīng)用數(shù)學和數(shù)學與其他學科的交叉

應(yīng)用數(shù)學是數(shù)學的重要組成部分。在20世紀以前，雖然很多數(shù)學工作與實際應(yīng)用密切相關(guān)，但應(yīng)用數(shù)學這個名稱用得很少，并沒有形成特別有影響的獨立分支。進入20世紀后，應(yīng)用數(shù)學快速成長，出現(xiàn)了計算數(shù)學、運籌學、控制論、組合數(shù)學、博弈論、信息論、數(shù)理統(tǒng)計等多個應(yīng)用數(shù)學分支。計算機的出現(xiàn)進一步推動應(yīng)用數(shù)學發(fā)展，還產(chǎn)生了很多交叉方向，如計算機數(shù)學、人工智能等。生物科學的迅速發(fā)展也涌現(xiàn)很多數(shù)學問題，現(xiàn)在有生物數(shù)學這一交叉分支，它關(guān)注的是用數(shù)學模型理解生物現(xiàn)象。物理一直是數(shù)學發(fā)展的強大推動力量。在20世紀，數(shù)學物理成為數(shù)學的一個重要分支，在過去幾十年間非常活躍，成果顯著。它主要關(guān)注規(guī)范場論、量子場論、弦論、統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的數(shù)學問題。

我們現(xiàn)在非常強調(diào)交叉，原因在于不同學科其實是現(xiàn)實不同側(cè)面的反映，只有結(jié)合起來，我們才能對現(xiàn)實有更全面的認知。就像“盲人摸象”，每個學科可能只摸到一個局部、一個側(cè)面，把所有的部分合起來，才會形成完整的“象”。在不同分支、不同學科交叉的過程中，數(shù)學也在不斷產(chǎn)生新的概念、方法、理論等。

如今人類社會正步入人工智能時代，數(shù)學在其中起到的作用更是基礎(chǔ)性的。計算數(shù)學、優(yōu)化、統(tǒng)計等數(shù)學分支發(fā)揮突出作用，數(shù)論、微分幾何等更多數(shù)學分支也不可或缺。人工智能也有力促進了數(shù)學的發(fā)展并提出很多極具挑戰(zhàn)的數(shù)學問題，其中之一是人工智能的數(shù)學基礎(chǔ)，如面向大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學基礎(chǔ)、人工智能大模型的數(shù)學機理等。

培育和提升大眾數(shù)學素養(yǎng)

在現(xiàn)代社會，數(shù)學素養(yǎng)已經(jīng)成為公民的基本素養(yǎng)，世界各國都非常重視。數(shù)學有助于培養(yǎng)人的邏輯推理能力，因為數(shù)學的大廈是通過邏輯支撐的，邏輯把數(shù)學不同的內(nèi)容組織在一起。當然，數(shù)學中的邏輯主要是演繹和歸納，是形式邏輯，現(xiàn)實的邏輯要復(fù)雜得多，僅有形式邏輯是不夠的。

對學習數(shù)學而言，尤為重要的是獲得數(shù)學思維。掌握了數(shù)學的思維方式、知道怎么考慮問題等，比單純獲得數(shù)學知識要有價值得多。數(shù)學直覺是數(shù)學思維的重要組成部分。歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的思維可以說是數(shù)學思維的典型例子，歐拉把陸地抽象成點，橋抽象成線段，從而揭示問題的數(shù)學本質(zhì)，進而解決問題。

培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，最好還能了解數(shù)學的發(fā)展史，它能幫助我們深入認識數(shù)學。從數(shù)學史中我們可以了解到數(shù)學的發(fā)展歷程一點都不枯燥，雖探索艱辛卻充滿了有趣的故事、生動的人物、引人入勝的例子。比如，數(shù)學史上關(guān)于數(shù)與形的觀念變化就很有意思，無理數(shù)、負數(shù)、虛數(shù)都經(jīng)歷了一個漫長曲折的接受過程。

理解數(shù)學符號體系的意義也很重要。恰當?shù)姆栿w系價值巨大，數(shù)學發(fā)展史上經(jīng)常出現(xiàn)記號與數(shù)學理論進展密不可分的情況。萊布尼茨在微積分中引入的記號就是一個典范。在16世紀以前，幾乎沒人考慮過在代數(shù)領(lǐng)域系統(tǒng)使用符號，致使代數(shù)發(fā)展緩慢；16世紀法國數(shù)學家韋達在這方面作出了突出貢獻，此后代數(shù)思想才得以更有效地表達。

在數(shù)學的發(fā)展過程中，很多數(shù)學家的哲學觀也產(chǎn)生了深遠影響。畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數(shù)”“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”，柏拉圖學派認為“純粹思想的最高形式是數(shù)學”，高斯說“數(shù)學是科學的皇后”，等等。這些觀點對科學文化有巨大影響，很多杰出的科學家，甚至人文學者對數(shù)學都有一種敬畏。數(shù)學家研究數(shù)學時的心理活動和背后的出發(fā)點同樣很有意思。比如，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何（即坐標幾何）與他的批判精神是分不開的。他說：“我決心離棄僅有抽象的幾何，即僅為練習頭腦設(shè)立問題的幾何；這樣做，是為了研究另一種幾何，旨在自然現(xiàn)象的解釋?！?/P>

好的科普作品對提高大眾的數(shù)學素養(yǎng)非常重要。許多國家都重視數(shù)學科普，除了專門的科普工作者，還有很多杰出的學者也投身其中，推出形式多樣的高質(zhì)量科普作品，讓大眾覺得數(shù)學有趣、可親，沒那么神秘，可以為普通人所理解。這方面我們還有提升空間。

（作者為中國科學院院士、中國數(shù)學會理事長）

推薦讀物：

《大哉數(shù)學之為用——華羅庚科普著作選集》：華羅庚著；上海教育出版社出版。

《認識數(shù)學》：席南華主編；科學出版社出版。

《悠揚的素數(shù)》：馬庫斯·杜·索托伊著，柏華元譯；人民郵電出版社出版。

《什么是數(shù)學——對思想和方法的基本研究》：R·柯朗、H·羅賓著，I·斯圖爾特修訂，左平、張飴慈譯；復(fù)旦大學出版社出版。

《 人民日報 》（ 2024年08月27日 20 版）